Question

對于數列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數列A為“0-1數列”。定義變換T，T將“0-1數列”A中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0。例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1，設A₀是“0-1數列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…。
（1）若數列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求數列A₁，A₀；
（2）若數列A₀共有10項，則數列A₂中連續兩項相等的數對至少有多少對？請說明理由；
（3）若A₀為0，1，記數列A_k中連續兩項都是0的數對個數為l_k，k=1，2，3，…，求l_k關于k的表達式。

Answer 1

解：（1）由變換T的定義可得A₁：0，1，1，0，0，1；
A₀：1，0，1。
（2）數列A₂中連續兩項相等的數列至少有10對
證明：對于任意一個“0-1數列A₀，A₀中每一個1在A₂中對應連續四項1，0，0，1，
在A₀中每一個0在A₂中對應的連續四項為0，1，1，0
因此，共有10項的“0-1數列”A₀中的每一個項在A₂中都會對應一個連續兩項相等的數對，
所以A₂中至少有10對連續兩項相等的數對。
（3）設A_k中有b_k個01數對，
中的00數對只能由A_k中的01數對得到，
所以
中的01數對有兩個產生途徑：
①由A_k中的1得到；
②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1
可得A_k中0和1的個數總相等，且共有個，
所以
所以
由A₀：0，1可得A₁：l，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以l₁=1，l₂=1，
當k≥3時，
若k為偶數，

…
l₄=l₂+2²，
上述各式相加可得

經檢驗，k=2時，也滿足
若k為奇數


…
l₃=l₁+2，
上述各式相加可得
 
經檢驗，k=1時，也滿足
所以。