Question

對于數列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數列A為“0-1數列”．定義變換T，T將“0-1數列”A中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1．設A₀是“0-1數列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（1）若數列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．則數列A₀為

1，0，1

；
（2）若A₀為0，1，記數列A_k中連續兩項都是0的數對個數為l_k，k=1，2，3，…，則l_2n關于n的表達式．是

l_2n=

1

3

（4ⁿ-1）

．

Answer 1

分析：（1）由變換T的定義“T將“0-1數列”A中原有的每個0都變成1，0”，直接可得數列A₀．
（2）設A_k中有b_k個01數對，A_k+1中的00數對只能由A_k中的01數對得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01數對有兩個產生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，由此能求出l_2n關于n的表達式．

解答：解：（1）∵數列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，
∴由變換T的定義可得A₁：0，1，1，0，0，1．…（2分）
A₀：1，0，1．…（4分）
（2）設A_k中有b_k個01數對，A_k+1中的00數對只能由A_k中的01數對得到，
所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01數對有兩個產生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1可得A_k中0和1的個數總相等，且共有2^k+1個，
所以b_k+1=l_k+2^k，
所以l_k+2=l_k+2^k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以l₁=1，l₂=1，
當k≥3時，
若k為偶數，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2=

1•(1-4 k 2 )

1-4

=

1

3

（2k-1），
經檢驗，k=2時，也滿足lk=

1

3

（2k-1）．
∴l_2n=

1

3

（4ⁿ-1）．
故答案為：1，0，1；

1

3

（4ⁿ-1）．

點評：本題考查數列的應用，解題時要認真審題，注意新定義的準確理解，解題時要合理地挖掘題設中的隱含條件，恰當地進行等價轉化．