Question

（2012•西城區一模）對于數列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數列A變換成數列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．這種“T變換”記作B=T（A）．繼續對數列B進行“T變換”，得到數列C：c₁，c₂，c₃，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束．
（Ⅰ）試問A：2，6，4經過不斷的“T變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“T變換”得到的各數列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）設A：a₁，a₂，a₃，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各項之和為2012．
（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若數列B再經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先要弄清“T變換”的特點，其次要嘗試著去算幾次變換的結果，看一下有什么規律，顯然只有當變換到數列的三項都相等時，再經過一次“T變換”才能得到數列的各項均為零，否則“T變換”不可能結束．（Ⅱ）中（i）的解答要通過已知條件得出a是B數列的最大項，從而去掉絕對值符號得到數列A是單調數列，得到答案．（ii）的解答要抓住B經過6次“T變換”后得到的數列也是形如“b，2，b+2”的數列，與數列B“結構”完全相同，且最大項減少12，從而數列和減少24，經過6×83+4=502次變換后使得各項的和最小，于是k的最小值為502．

解答：（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：數列A：2，6，4不能結束，各數列依次為4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．
以下重復出現，所以不會出現所有項均為0的情形．         …（3分）
（Ⅱ）解：（ⅰ）因為B的各項之和為2012，且a≥b，所以a為B的最大項，
所以|a₁-a₃|最大，即a₁≥a₂≥a₃，或a₃≥a₂≥a₁．…（5分）
當a₁≥a₂≥a₃時，可得

b=a1-a2 2=a2-a3 a=a1-a3.

由a+b+2=2012，得2（a₁-a₃）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）
當a₃≥a₂≥a₁時，同理可得 a=1006，b=1004．…（8分）
（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，則B經過6次“T變換”得到的數列分別為：b-2，b，2；2，b-2，b-4；b-4，2，b-6；b-6，b-8，2；2，b-10，b-8；b-12，2，b-10．
由此可見，經過6次“T變換”后得到的數列也是形如“b，2，b+2”的數列，與數列B“結構”完全相同，但最大項減少12．
因為1006=12×83+10，
所以，數列B經過6×83=498次“T變換”后得到的數列為8，2，10．
接下來經過“T變換”后得到的數列分別為：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…
從以上分析可知，以后重復出現，所以數列各項和不會更小．
所以經過498+4=502次“T變換”得到的數列各項和最小，k的最小值為502．…（13分）
方法二：若一個數列有三項，且最小項為2，較大兩項相差2，則稱此數列與數列B“結構相同”．
若數列B的三項為x+2，x，2（x≥2），則無論其順序如何，經過“T變換”得到的數列的三項為x，x-2，2（不考慮順序）．
所以與B結構相同的數列經過“T變換”得到的數列也與B結構相同，除2外其余各項減少2，各項和減少4．
因此，數列B：1004，2，1006經過502次“T變換”一定得到各項為2，0，2（不考慮順序）的數列．
通過列舉，不難發現各項為0，2，2的數列，無論順序如何，經過“T變換”得到的數列會重復出現，各項和不再減少．
所以，至少通過502次“T變換”，得到的數列各項和最小，故k的最小值為502．…（13分）

點評：此題需要較強的邏輯思維能力及計算能力，通過計算發現和歸納出其規律，進而得出答案．