Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為；折痕與AB交于點E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB。若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：

（Ⅰ）．求點M的軌跡方程；

（Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形的三邊分別與曲線S切于點.求梯形面積的最小值.

            

Answer 1

解答: 解：（1）如圖，設M（x,y），，又E（0，b）

顯然直線l的斜率存在，故不妨設直線l的方程為y=kx+b,,則

而的中點在直線l上，

故，①

由于代入①即得，又 點M的軌跡方程（）-------------6分

（2）易知曲線S的方程為設梯形的面積為，點P的坐標為. 由題意得，點的坐標為，直線的方程為.

               直線的方程為即：  令  得，令  得，

當且僅當，即時，取“=”且， 時，有最小值為.梯形的面積的最小值為----------15分