Question

（本小題滿分12分）已知函數．
（Ⅰ）討論函數在定義域內的極值點的個數；
（Ⅱ）若函數在處取得極值，對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）顯然函數的定義域為.
因為，所以，
當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，
∴在上沒有極值點；                                             ……3分
當 時，由得，由得，
∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．
∴當時在上沒有極值點，當時在上有一個極值點.……6分
（Ⅱ）∵函數在處取得極值，由（Ⅰ）結論知，
∴，                                     ……8分
令，所以，
令可得在上遞減，令可得在上遞增，  ……10分
∴，即.                                   ……12分
考點：本小題主要考查函數的求導、函數的單調性、函數的極值最值和恒成立問題，考查學生分析問題、解決問題的能力和分類討論思想的應用以及運算求解能力.
點評：導數是研究函數問題的有力工具，常常用來解決函數的單調性、極值、最值等問題.對于題目條件較復雜，設問較多的題目審題時，應該細致嚴謹，將題目條件條目化，一一分析，細心推敲.對于設問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯系，使問題化難為易，層層解決.