Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數在上的單調性；

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為3，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）當，求證:.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞（2）存在，2（3）證明見解析

【解析】

（1）求出，討論當的正負，即可得出結論；

（2）求導，對分類討論求出的最小值，且等于，得到關于的方程，求解即可；

（3）要證，只需證，只需證，對照結構特征，令，利用的單調性，即可證明結論.

（1）∵，∴，

當，時，∴，

∴函數在上單調遞增.

（2）存在實數使得在上有最小值，

∵，∴，

∴當時，，在上單調遞增無最小值，

∴，此時設方程的正根為，

∴，當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

∴，

∴，即，

函數在單調遞增，

且，∴，∴.

（3）由（1）知當，在上單調遞增；

不妨設，且，則，即:，

所以有，

∵，∴，

∴，

∴，

即:.