Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，點為曲線上的動點，點在線段 的延長線上，且滿足，點的軌跡為.

（1）求曲線，的極坐標方程；

（2）設點的極坐標為，求面積的最小值。

Answer 1

【答案】（1），；（2）2

【解析】

（1）將曲線的參數方程通過消參化為普通方程，再利用互化公式，即可求出其極坐標方程；分別設出的極坐標，利用以及極徑的意義，即可求出點的軌跡的極坐標方程.

（2）在極坐標系下，結合極徑以及極角的幾何意義，運用三角形的面積公式建立關于面積的函數，從而求出其最小值.

（1）因為的參數方程為，

消去參數得，則一般式為，

由，可得的極坐標方程為；

設，則，

而為曲線上的動點，則，

因為點在線段 的延長線上，則設，有，

因為，

所以得，即，

所以的極坐標方程為.

（2）由（1）可知，，

邊上的高為，

則，

因為，所以當時，.