Question

【題目】已知函數f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．

（1）當a＝4時，求解不等式f（x）≥8；

（2）已知關于x的不等式f（x）在R上恒成立，求參數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，]；（2）[﹣2，1].

【解析】

（1）根據a＝4時，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用絕對值的幾何意義，去絕對值求解.

（2）根據絕對值的零點有a﹣1和，分a﹣1，a﹣1和a﹣1時三種情況分類討論求解.

（1）當a＝4時，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，

（i）當x≥3時，原不等式可化為3x﹣7≥8，解可得x≥5，

此時不等式的解集[5，+∞）；

（ii）當2＜x＜3時，原不等式可化為2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9

此時不等式的解集；

（iii）當x≤2時，原不等式可化為﹣3x+7≥8，解可得x，

此時不等式的解集（∞，]，

綜上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，]，

（2）（i）當a﹣1即a＝2時，f（x）＝3|x﹣1|2顯然不恒成立，

（ii）當a﹣1即a＞2時，，

結合函數的單調性可知，當x時，函數取得最小值f（），

若f（x）在R上恒成立，則，此時a不存在，

（iii）當a﹣1即a＜2時，f（x）

若f（x）在R上恒成立，則1，

解得﹣2≤a≤1，

此時a的范圍[﹣2，1]，

綜上可得，a的范圍圍[﹣2，1]．