Question

【題目】已知函數有兩個零點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）設、是的兩個零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得到，利用導數得到的最小值，從而要使有兩個零點，則最小值小于，得到的范圍，再利用零點存在定理證明所求的的范圍符合題意；（2）利用分析法，要證，將問題轉化為證明，設函數，利用導數研究的單調性，從而進行證明.

函數，

所以，

當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，

至多只有一個零點，不符合題意，

當時，由得，

所以時，，單調遞減，

時，，單調遞增，

所以時取得極小值，也是最小值，

要有兩個零點，則，

即，解得，

所以，

當時，得，

當時，，

設，則

所以單調遞增，則，

所以，

所以在區間上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，

所以滿足有兩個零點的的取值范圍為.

（2）、是的兩個零點，則，

要證，即證，

根據，

可知，，

即證，

即證，即證，

即證，

設，，

由（1）知在上單調遞增，

故只需證明，

而，所以只需證

令，且

所以，，

所以在上單調遞減，

所以，

所以在上恒成立，

所以，

故原命題得證.