Question

等差數列{a_n}中，首項a₁=1，公差d≠0，前n項和為S_n，已知數列，，，…，，…成等比數列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{k_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=，數列{b_n}的前n項和為T_n．若存在一個最小正整數M，使得當n＞M時，S_n＞4T_n（n∈N*）恒成立，試求出這個最小正整數M的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a₂²=a₁a₅，得（1+d）2=1（1+4d），
解得d=2，
∴a_n=2n﹣1，
∴=2k_n﹣1，在等比數列中，公比q==3，
∴=3 ^n﹣1，∴2k_n﹣1=3^n﹣1，解得k_n=．
（Ⅱ）b_n==，則
++…+，
T_n=+…++，
兩式相減得：T_n=1++…+﹣=2﹣，
∴T_n=3﹣
∵T_n+1﹣T_n=＞0，
∴T_n單調遞增，
∴1≤Tn＜3．
又在n∈N*時單調遞增．
且S₁=1，4T₁=4；S₂=4，4T₂=8；S₃=9，4T₃=；S₄=16＞12，4T₄＜12；…．
n＞3時，S_n＞4T_n恒成立，則所求最小正整數M的值為3．