Question

【題目】設 ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范圍．
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：

由題設 ，

∴

∴1+a=1，∴a=0

（2）解： ，x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即

設 ，即x∈（1，+∞），g（x）≤0．

①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾．

②若m＞0方程﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2

當△≤0，即 時，g'（x）≤0．

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減，

∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．

當 時，方程﹣mx2+x﹣m=0，其根 ， ，

當x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設矛盾．

綜上所述， ．

（3）解：由（2）知，當x＞1時， 時， 成立．

不妨令

所以 ，

累加可得 即

【解析】（1）求得函數f（x）的導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先將原來的恒成立問題轉化為 ，設 ，即x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用導數研究g（x）在（0，+∞）上單調性，求出函數的最大值，即可求得實數m的取值范圍．（3）由（2）知，當x＞1時， 時， 成立．不妨令 ，得出 ，再分別令k=1，2，…，n．得到n個不等式，最后累加可得．