Question

給出下列結論：
①當x≥2時，x+

1

x-1

的最小值是3；
②當0＜x≤2時，2^x+2^-x存在最大值；
③若m∈（0，1]，則函數y=m+

3

m

的最小值為2

3

；
④當x＞1時，lgx+

1

lgx

≥2．
其中一定成立的結論序號是

①②④

（把成立的序號都填上）．

Answer 1

分析：變形利用基本不等式和利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答：解：①當x≥2時，x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=3，當且僅當x=2時取等號，∴x+

1

x-1

的最小值是3；
②令f（x）=2^x+2^-x，則f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2(2x-

1

2x

)≥0，∴函數f（x）單調遞增，∴當x=2時，函數f（x）取得最大值4+

1

4

=

17

4

，因此正確．
③若m∈（0，1]，∵y′=1-

3

m2

=

m2-3

m2

＜0，因此函數y=m+

3

m

單調遞減，∴函數f（x）最小值為1+

3

1

=4，因此不正確；
④當x＞1時，lgx0，∴lgx+

1

lgx

≥2

lgx• 1 lgx

=2．當且僅當x=10時取等號．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為①②④．

點評：熟練掌握變形利用基本不等式和利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．