Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若當時，取得極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間.

(2)若存在兩個極值點，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1），的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （2），證明見解析

【解析】

（1）求導數(shù)，由題意可知為方程的根，求解值，即可.再令導數(shù)，，分別求解單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間，即可.

（2）函數(shù)存在兩個極值點，等價于方程即在上有兩個不等實根，則，即可. 變形整理為；若證明不等式，則需證明，由變形為，不妨設(shè)，即證，令，則，求函數(shù)的取值范圍，即可證明.

（1）

時，取得極值.

.

解得或

解得

的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）

存在兩個極值點

方程即在上有兩個不等實根.

，

.

所證不等式等價于

即

不妨設(shè)，即證

令，

，在上遞增.

成立.

成立.