Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面．，，是上的點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）證明：連結．

因為底面是正方形，

所以 ．

因為平面，平面，

所以．……………………………………………………………………3分

又因為，

所以平面．……………………5分

因為平面，

所以．…………………………7分

（Ⅱ）因為平面，

所以．

因為底面是正方形，

所以．

又因為，

所以平面，所以．…………………………………………10分

過點在平面內作于，連結．

由于，

所以平面．

所以．

故是二面角的平面角．………………………………………12分

在中，，，可求得．

在中，，，可求得．

所以．

即二面角的余弦值為．…………………………………………14分

解法（二）（Ⅰ）如圖以為原點建立空間直角坐標系．

則，，，，，，

，

．…………………3分

．

所以．即．…………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．

設平面的法向量為，則由

，，得

  即

取，得．……………………………………………………………11分

易知平面的一個法向量為．

設二面角的平面角為．

則．

即二面角的余弦值為．