Question

（09年朝陽區二模文）（13分）

  如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ) 求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：證明：（Ⅰ）因為底面，

所以是與平面所成的角，

由已知， 所以.

易求得，, 又因為，

所以, 所以.

因為底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.………………………………6分

（Ⅱ）設為中點. 連結，由于底面，且平面，則平面平面.

因為，所以平面.

過作，垂足為，連結，

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易證明∽，則，

因為，，，所以.

在中，因為，所以，

所以二面角的大小為.………………………………13分

解法二:

因為底面，

所以是與平面所成的角，

由已知，

所以.

建立空間直角坐標系（如圖）.

由已知，為中點.

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，， .

因為, ,

所以，.

因為，所以平面.………………………………6分

（Ⅱ）設平面的法向量為，

由  得   解得，

所以.

因為平面，所以是平面的法向量， 易得.

所以.

所以二面角的大小為.………………………………13分