Question

【題目】設(shè)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】解：設(shè)g（x）= ，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：
g′（x）= ，
∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
又∵g（﹣x）= = = =g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，
∴x＜0時(shí)，函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
又∵g（﹣2）= =0=g（2），
∴x＞0時(shí)，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0時(shí)，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
構(gòu)造函數(shù)g（x），利用g（x）的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性與奇偶性，求出不等式的解集即可．