Question

（1）若函數f(x)=

2x2-2ax-a-1

的定義域為R，則實數a的取值范圍

[-1，0]

．
（2）函數f（x）=log

1

2

|x2-6x+5|的單調遞增區間為

（-∞，1），[3，5）

．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

2x2-2ax-a-1

的定義域為R，可得2x2-2ax-a-1≥0恒成立，從而問題轉化x²-2ax-a≥0恒成立，從而可求實數a的取值范圍是[-1，0]．
（2）由|x²-6x+5|＞0，解得：x≠1或x≠5，設u=|x²-6x+5|=|（x-3）²-4|，則函數在（-∞，1），[3，5）上是單調遞減，利用“同增異減”，可得函數f（x）=log

1

2

|x2-6x+5|的單調遞增區間．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

2x2-2ax-a-1

的定義域為R
∴2x2-2ax-a-1≥0恒成立
∴2x2-2ax-a≥20恒成立
∴x²-2ax-a≥0恒成立
∴4a²+4a≤0
∴-1≤a≤0
∴實數a的取值范圍是[-1，0]．
（2）由|x²-6x+5|＞0，解得：x≠1或x≠5，
設u=|x²-6x+5|=|（x-3）²-4|，則函數在（-∞，1），[3，5）上是單調遞減，
而要求的函數是以

1

2

為底的，根據“同增異減”，
那么函數f（x）=log

1

2

|x2-6x+5|的單調遞增區間為（-∞，1），[3，5）
故答案為：（1）[-1，0]；
（2）（-∞，1），[3，5）

點評：本題考查的重點是函數的定義域，函數的單調性，解題的關鍵是將問題轉化為恒成立問題，利用“同增異減”，解決復合函數的單調性問題．