Question

已知a，b為正實數．
（1）若函數f(x)=

lnx

x

，求f（x）的單調區間
（2）若e＜a＜b（e為自然對數的底），求證：a^b＞b^a；（3）求滿足a^b=b^a（a≠b）的所有正整數a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先求函數f(x)=

lnx

x

的導函數f′(x)=

1-lnx

x2

，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數的單調區間
（2）利用（1）的結論，若e＜a＜b，則f（a）＞f（b），即

lna

a

＞

lnb

b

，即lna^b＞lnb^a，再由函數y=lnx的單調性即可得證
（3）利用（1）的結論當x∈（0，e）時，f（x）為增函數，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數，若a^b=b^a（a≠b），則a、b一定分布在e的兩邊，通過列舉求值可得正整數a，b的值

解答：解：（1）∵f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

，
當0＜x＜e時，f′（x）＞0；當x＞e時，f′（x）＜0．
∴當x∈（0，e）時，f（x）為增函數，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：

lna

a

＞

lnb

b

，∴blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，∴a^b＞b^a；
（3）由a^b=b^a得：

lna

a

=

lnb

b

．
∵當x∈（0，e）時，f（x）為增函數，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數，∴

ln1

1

＜

ln2

2

＜

lne

e

＞

ln3

3

＞

ln4

4

＞

ln5

5

＞…，
發現

ln2

2

=

ln4

4

，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．

點評：本題考查了利用導數求函數單調區間的方法，并利用單調性證明不等式，解題時要認真觀察，發現函數性質與已知的聯系，巧妙而準確的解決問題