Question

由下面四個圖形中的點數分別給出了四個數列的前四項,將每個圖形的層數增加可得到這四個數列的后繼項.按圖中多邊形的邊數依次稱這些數列為“三角形數列”、“四邊形數列”，將構圖邊數增加到可得到“邊形數列”，記它的第項為，

1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28
（1）      求使得的最小的取值；
（2）      試推導關于、的解析式；
( 3) 是否存在這樣的“邊形數列”,它的任意連續兩項的和均為完全平方數,若存在,指出所有滿足條件的數列并證明你的結論;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解: (1),                                           3分
由題意得,
所以,最小的.                                            5分
(2)設邊形數列所對應的圖形中第層的點數為,則
從圖中可以得出:后一層的點在條邊上增加了一點,兩條邊上的點數不變,
所以,
所以是首項為1公差為的等差數列,
所以.(或等)         13分
(3)                          16分
顯然滿足題意,                                           17分
而結論要對于任意的正整數都成立,則的判別式必須為零,
所以,,                                       19分
所以,滿足題意的數列為“三角形數列”.

略