Question

【題目】設(shè)函數(shù)

(I)討論的單調(diào)性；

（II）若有兩個極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】：（I）的定義域?yàn)?/span>

令

當(dāng)故上單調(diào)遞增．

當(dāng)的兩根都小于0，在上，，故上單調(diào)遞增．

當(dāng)的兩根為，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（II）由（I）知，．

因?yàn)?/span>，所以

又由(I)知，．于是

若存在，使得則．即．亦即

再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得

【解析】

【試題分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系分析討論函數(shù)的符號，進(jìn)而運(yùn)用分類整合思想對實(shí)數(shù)進(jìn)行分三類進(jìn)行討論并判定其單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；（2）先假設(shè)滿足題設(shè)條件的參數(shù)存在，再借助題設(shè)條件，推得，即，亦即

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)在上是單調(diào)遞增的問題，然后借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系運(yùn)用反證法進(jìn)行分析推證，從而作出判斷：

解：（Ⅰ）定義域?yàn)?/span>，

，

令，

①當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，，的兩根都小于零，在上，，

故在上單調(diào)遞增，

③當(dāng)時(shí)，，的兩根為，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因?yàn)?/span>.

所以,

又由（1）知，，于是，

若存在，使得，則，即，

亦即（）

再由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而，所以，這與（）式矛盾，

故不存在，使得.