Question

已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長及側棱長均為13,M、N分別是PA、BD上的點,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

(1)求證:直線MN∥平面PBC;

(2)求直線MN與平面ABCD所成的角.

Answer 1

(1)證明:∵P—ABCD是正四棱錐,

    ∴ABCD是正方形.連結AN并延長交BC于點E,連結PE.

    ∵AD∥BC,

    ∴EN∶AN=BN∶ND.

    又∵BN∶ND=PM∶MA,∴EN∶AN=PM∶MA.

    ∴MN∥PE.

    又∵PE在平面PBC內,∴MN∥平面PBC.

(2)解:由(1)知MN∥PE,

    ∴MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角.

    設點P在底面ABCD上的射影為O,連結OE,則∠PEO為PE與平面ABCD所成的角.

    由正棱錐的性質知PO==.

    由(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8,∴BE=.

    在△PEB中,∠PBE=60°,PB=13,BE=,

    根據余弦定理,得PE=.

在Rt△POE中,PO=,PE=,

    ∴sin∠PEO==.

    故MN與平面ABCD所成的角為arcsin.