Question

已知正四棱錐P-ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．
（1）用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；
（2）當V取最大值時，求異面直線AB和PD所成角的大小．
（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：（1）先設底面邊長為a，斜高為H，由題意a與H的關系，求得正四棱錐體積V的表達式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）先根據異面直線及其所成的角的定義得出∠PDQ即為異面直線AB和PD所成的角再在直角三角形中求出其正切值即得異面直線AB和PD所成角的大小．

解答：解：（1）設底面邊長為a，斜高為H，由題意a²+2aH=2，所以H=

1

a

-

a

2

，（2分）
又因為H2=h2+(

a

2

)2，所以a=

1

1+h2

（4分）
因而V=

1

3

a2h=

1

3

•

1

h+ 1 h

，
當且僅當h=1時，體積最大，Vmax=

1

6

．（8分）
此時a=

1

2

，H=

3

4

2

．
（2）∠PDQ即為異面直線AB和PD所成的角．（11分）
tan∠PDQ=

2H

a

=3
所以異面直線AB和PD所成角的大小arctan3．（14分）

點評：本題是中檔題，考查直線與平面所成角的求法、棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，計算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關鍵．