Question

【題目】設函數．

（1）若，，求函數的極值；

（2）若是函數的一個極值點，試求出關于的關系式（即用表示），并確定的單調區間；（提示：應注意對的取值范圍進行討論）

（3）在（2）的條件下，設，函數，若存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2），見解析； （3）.

【解析】

（1）求出導函數的根，判斷根左右兩邊導函數的符號，得到函數的單調性，據極大值極小值的定義求出極值；（2）據極值點處的導函數值為0得到a，b的關系；代入導函數中求出導函數的兩根，討論兩根的大小；判斷根左右兩邊導函數的符號，據導函數與單調性的關系求出單調區間；（3）據函數的單調性求出兩個函數的值域，求出函數值的最小距離，最小距離小于1求出a的范圍

（1）∵

當，時，則

令得，∵∴，解得，

∵當時，，當時，當時

∴當時，函數有極大值，，

當時，函數有極小值，．

（2）由（1）知

∵是函數的一個極值點

∴，即，解得，

則

令，得或

∵是極值點，∴，即

當即時，由得或

由得

當即時，由得或

由得

綜上可知：當時，單調遞增區間為和，遞減區間為

當時，單調遞增區間為和，遞減區間為

（3）由（2）知，當時，在區間上的單調遞減，在區間上單調遞增，

∴函數在區間上的最小值為

又∵，，

∴函數在區間上的值域是，即

又在區間上是增函數，

且它在區間上的值域是

∵，

∴存在使得

成立只須僅須．