Question

【題目】已知函數，其中為常數，設為自然對數的底數．

（1）當時，求的最大值；

（2）若在區間上的最大值為，求的值；

（3）設，若，對于任意的兩個正實數，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）最大值為﹣1；（2）a=﹣e2；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．

（2）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，對a進行分類討論并判斷其單調性，根據f（x）在區間（0，e]上的單調性求其最大值，并判斷其最大值是否為﹣3，若是就可求出相應的最大值．

（3）先求導，再求導，得到g′（x）為增函數，不妨令x2＞x1，構造函數，利用導數即可證明.

試題解析：

（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），

當a=﹣1時，f（x）=﹣x+lnx，，

令f′（x）=0，得x=1．

當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．

f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為﹣1，

（2）∵．

①若，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上是增函數，

∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合題意，

②若，則由，即

由，即，

從而f（x）在（0，﹣）上增函數，在（﹣，e]為減函數

∴

令，則，

∴a=﹣e2，

（3）證明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0

∴，

∴g′（x）為增函數，不妨令x2＞x1

令，/p>

∴，

∵，

∴

而h（x1）=0，知x＞x1時，h（x）＞0

故h（x2）＞0，

即.