Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為和，由4個點、、和組成了一個高為，面積為的等腰梯形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線和橢圓交于兩點、，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

（1）由梯形的條件得，，求得，后得橢圓方程；

（2）直線的斜率不能為0，設直線方程為，直線與橢圓交于，．

直線方程代入橢圓方程化簡后應用韋達定理得，而的面積為，代入后，變形整理，令換元后由函數單調性可得面積的最大值．

解：（1）由條件，得，且，所以．

又，解得，，所以橢圓的方程．

（2）顯然，直線的斜率不能為0，設直線方程為，直線與橢圓交于，．

聯立方程，消去得，，

因為直線過橢圓內的點，無論為何值，直線和橢圓總相交．

∴，

．

令，設，易知時，函數單調遞減，函數單調遞增，所以當即時，，取最大值3．