Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸上是否存在點，使得為正三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）在軸上是存在點，坐標為，

【解析】

（1）因為橢圓：的離心率為，可得，右焦點到直線的距離為，故，即可求得答案；

（2）設線段的中點，若是正三角形，且，結合已知，即可求得答案.

（1）橢圓：的離心率為

，可得

故

右焦點到直線的距離為.

①當時，將代入

可得

整理可得：

即

解得：（舍去）或

由，可得，即

根據

可得：

②當時，將代入

可得

整理可得：

方程無解

（2）過點作與坐標軸不垂直的直線

設直線的方程為

聯立直線的方程和橢圓方程可得：，消掉

可得：

根據韋達定理可得：

設線段的中點，

則，

是正三角形

且

根據，可得

由可得：

可得：，解得：

設，將其代入

可得

可得

故在軸上是存在點，使得為正三角形，坐標為，