Question

等差數列{a_n}中，公差d是自然數，等比數列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂．現又數據：①2，②3，③4，④5，當{b_n}中所有的項都是數列{a_n}中的項時，d可以取

①②③④

．（填上你認為正確的序號）

Answer 1

分析：由b₁=a₁=1，b₂=a₂，利用等差、等比數列的性質可得d=a₁（q-1），然后令b_n=a_k，根據等差數列及等比數列的通項公式化簡，由a₁不為0，在等式兩邊同時除以a₁，用q表示出k，再根據等比數列的求和公式列舉出各項，由已知d的值，求出相應的q值，進而得到相應的k值，發現k為正整數，即此時數列{b_n}中的每一項都是數列{a_n}中的項，得到正確的選項．

解答：解：∵b₁=a₁=1，且b₂=a₂=b₁q=a₁q，
∴d=a₂-a₁=a₁（q-1），
令b₁q^n-1=a₁+（k-1）d，即a₁q^n-1-a₁=（k-1）a₁（q-1），
解得：k=1+

qn-1-1

q-1

=2+q+q²+…+q^n-2，
∵d取2，3，4，5，∴q相應取1，2，3，4，
∴k相應為正整數，從而b_n=a_k，
故此時數列{b_n}中的每一項都是數列{a_n}中的項．
則d可以取①②③④．
故答案為：①②③④

點評：此題考查了等差、等比數列的性質，等比數列的求和公式，以及等差、等比數列的通項公式，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．