Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求證：AC⊥BC₁.

Answer 1

（1）證明見解析;（2）證明見解析.

試題分析：（1）設BC₁與CB₁交于點O，連接OD，利用三角形中位線性質，證明OD∥AC₁，利用線面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁;（2）要證明AC⊥BC₁,可以先證明直線AC⊥平面BCC₁B₁, 在DABC中，AC=3，BC=4，AB=5，∴AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC,∵C₁C⊥平面ABC，ACÌ平面ABC，∴AC⊥C₁C,又∵C₁CÌ平面BB₁C₁C，BCÌ平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，∴AC⊥平面BB₁C₁C．
試題解析：（1）證明：設BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁的中點,
在△ABC₁中，連接OD，
∵D，O分別為AB，BC₁的中點，
∴OD為△ABC₁的中位線，
∴OD∥AC₁，
又∵AC₁Ú平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁;
（2）在DABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC,
∵C₁C⊥平面ABC，ACÌ平面ABC，
∴AC⊥C₁C,          
又∵C₁CÌ平面BB₁C₁C，BCÌ平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C,
又∵BC₁Ì平面BB₁C₁C，
∴AC⊥BC₁.