Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點，PA=AD=2.

（Ⅰ）求證：PD//平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）要證//平面，只需在平面找一條直線與平行即可，證明線線平行，可利用三角形的中位線平行，也可利用平行四邊形的對邊平行，本題為的中點，可考慮利用三角形的中位線平行，連接，設與相交于點，連接，利用三角形中位線性質，證得//，從而證明//平面；（Ⅱ）求二面角B—AC—M的余弦值，可找二面角的平面角，取的中點，連接，作，垂足為，連接，證明為二面角的平面角，即可求得二面角的余弦值；也可利用空間坐標來求，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，由于平面，故平面的一個法向量為，設出平面的法向量，通過，，求出平面的法向量，從而得二面角B—AC—M的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）證明：?連接，設與相交于點，連接，
????∵?四邊形是平行四邊形，∴點為的中點．????????????????
∵為的中點，∴為的中位線，
∴//，?????????    3分
∵，
∴//．???????? 6分
?(Ⅱ)??解法一?：?∵平面，//，?則平面，故，
又??且，
∴?平面，取的中點，連接，則//，且?．∴?．
作，垂足為，連接，由于，且，
∴，∴?．
∴為二面角的平面角．?  ?9分
由∽，得，得，
在中，．
∴?二面角的余弦值為．????  12分
?(Ⅱ?)?解法二：?∵平面，，?則平面，故，
又??且，∴．?????????? ?9分
以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．
????
則，，，，，?∴，?，求得平面的法向量為，?又平面的一個法向量為，?
∴??.?
∴?二面角B—AC—M的余弦值為.??  12分