Question

【題目】已知矩陣A的逆矩陣A﹣1=（ ）．
（1）求矩陣A；
（2）求矩陣A﹣1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A= ，則由AA﹣1=E得 = ，

解得a= ，b=﹣ ，c=﹣ ，d= ，所以A=

（2）解：矩陣A﹣1的特征多項式為f（λ）= =（λ﹣2）2﹣1，

令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值為λ1=1，λ2=3，

設λ1=1對應的一個特征向量為α= ，

則由λ1α=Mα，得x+y=0

得x=﹣y，可令x=1，則y=﹣1，

所以矩陣M的一個特征值λ1=1對應的一個特征向量為 ，

同理可得矩陣M的一個特征值λ2=3對應的一個特征向量為

【解析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程組，即可求矩陣A；（2）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．