Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點的橫坐標的取值范圍；

（3）在第（2）問的條件下，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得,則橢圓方程為.

(2)將直線方程與橢圓方程聯立，整理可得 ，則的取值范圍為.

(3)面積公式： ，求導討論可得面積的最大值為.

試題解析：（1）點在且橢圓上， ，

， ，

， ， 橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，

代入，整理得.

直線過橢圓的右焦點， 方程有兩個不等實根.

記， 中點，

則， ， ，

垂直平分線的方程為.

令，得 .

， . 的取值范圍為.

（3），

而，

由，可得.

所以.

又，所以.

所以的面積為.

設，則.

可知在區間單調遞增，在區間單調遞減.

所以，當時， 有最大值.

所以，當時， 的面積有最大值.