Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，方程ax²-3x+2=0的解為1和b．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=a_n•2ⁿ，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由方程ax²-3x+2=0的兩根為x₁=1，x₂=b，利用韋達定理，得1+b=

3

a

，1×b=

2

a

，由此能求出a_n．
（2）由（1）得b_n=（2n-1）•2ⁿ，由此利用錯位相減法能夠求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵方程ax²-3x+2=0的兩根為x₁=1，x₂=b，
∴1+b=

3

a

，1×b=

2

a

，
解得a=1，b=2．
所以a_n=2n-1．
（2）由（1）得b_n=（2n-1）•2ⁿ，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
②-①得
T_n=-2（2+2²+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和公式的應用，解題時要認真審題，注意韋達定理和錯位相減法的合理運用．