Question

【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為，拋物線上一點的橫坐標為2，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于兩點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）設出拋物線的標準方程，列出方程解得即可；（2）設，，聯立直線與拋物線的方程消元，運用韋達定理得的值，再證即．

試題解析：

（1）由題意知，拋物線的方程為，則

點的坐標為，點的一個坐標為，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）設兩點坐標分別為，

法一：因為直線的斜率不為0，設直線的方程為，

由方程組得，

，

因為，

所以

所以.

法二：①當的斜率不存在時，的方程為，

此時，

即，

有，

所以.

②當的斜率存在時，設的方程為，

方程組得，

所以，

.因為，

所以，

所以，

由①②得.