Question

設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）．直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積為k．則下列說法正確的是______
（1）當k=

b2

a2

時，點M的軌跡是雙曲線．（其中a，b∈R⁺）
（2）當k=-

b2

a2

時，點M的軌跡是部分橢圓．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）條件下，點p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點F₁（-

a2+b2

，0)，F₂（

a2+b2

，0），且|PF₁|=

1

4

|PF₂|，則（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

5

3

]
（4）在（2）的條件下，過點F₁（-

a2-b2

，0），F₂（

a2-b2

，0）．滿足

.

MF1

•

.

MF2

=0的點M總在曲線的內部，則（2）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率的取值范圍是(

2

2

，1)．

Answer 1

設M（x，y），由A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），
則kAM=

y

x+a

（x≠-a），kBM=

y

x-a

（x≠a），
由k_AM•k_BM=k，得：

y

x+a

•

y

x-a

=k，即kx²-y²=ka²①．
（1）若k=

b2

a2

（a，b∈R⁺），則方程①化為

x2

a2

-

y2

b2

=1，點M的軌跡是雙曲線除去兩個頂點，
∴命題（1）不正確；
（2）若k=-

b2

a2

（a，b∈R⁺），則方程①化為

x2

a2

+

y2

b2

=1，點M的軌跡是橢圓除去長軸上兩個頂點，
∴命題（2）正確；
（3）在（1）條件下，點p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點，說明點P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左支上，
F₁，F₂是雙曲線的左右焦點，則由|PF₁|=

1

4

|PF₂|及|PF₂|-|PF₁|=2a求得|PF1|=

2

3

a，|PF2|=

8

3

a，
又|PF₁|+|PF₂|=

2

3

a+

8

3

a≥2c，∴

c

a

≤

5

3

，又e＞1，∴（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

5

3

]．
∴命題（3）正確；
（4）在（2）的條件下，由滿足

.

MF1

•

.

MF2

=0的點M總在曲線的內部，說明滿足MF₁⊥MF₂的點M在曲線內部，若點M在曲線上，則|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M為橢圓短軸的一個端點，則|MF₁|=|MF₂|=a，所以2a²＞4c²，
則

c

a

＜

2

2

．∴命題（4）錯誤．
所以，正確的命題是②③．
故答案為②③．