Question

設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）．直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積為k．則下列說法正確的是

（2）（3）

（1）當k=

b2

a2

時，點M的軌跡是雙曲線．（其中a，b∈R⁺）
（2）當k=-

b2

a2

時，點M的軌跡是部分橢圓．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）條件下，點p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點F₁（-

a2+b2

，0)，F₂（

a2+b2

，0），且|PF₁|=

1

4

|PF₂|，則（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

5

3

]
（4）在（2）的條件下，過點F₁（-

a2-b2

，0），F₂（

a2-b2

，0）．滿足

.

MF1

•

.

MF2

=0的點M總在曲線的內部，則（2）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率的取值范圍是(

2

2

，1)．

Answer 1

分析：設出動點M的坐標，寫出直線AM，BM的斜率，由斜率之積等于k求出軌跡方程，若k=

b2

a2

時，得到M的軌跡是除去兩個頂點的雙曲線；若k=-

b2

a2

時，得到M的軌跡是橢圓除去長軸上兩個頂點；是雙曲線時，由題目給出的|PF₁|=

1

4

|PF₂|，集合雙曲線定義求出|PF₁|和|PF₂|的長度，由兩邊之和大于第三邊列式求離心率范圍；是橢圓時，根據與兩焦點連線互相垂直的點總在橢圓內部，取橢圓短軸上的一個端點，由該點到兩個焦點距離的平方和大于焦距的平方求得橢圓的離心率小于

2

2

，按以上分析可以判斷出正確命題的個數．

解答：解：設M（x，y），由A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），
則kAM=

y

x+a

（x≠-a），kBM=

y

x-a

（x≠a），
由k_AM•k_BM=k，得：

y

x+a

•

y

x-a

=k，即kx²-y²=ka²①．
（1）若k=

b2

a2

（a，b∈R⁺），則方程①化為

x2

a2

-

y2

b2

=1，點M的軌跡是雙曲線除去兩個頂點，
∴命題（1）不正確；
（2）若k=-

b2

a2

（a，b∈R⁺），則方程①化為

x2

a2

+

y2

b2

=1，點M的軌跡是橢圓除去長軸上兩個頂點，
∴命題（2）正確；
（3）在（1）條件下，點p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲線上的點，說明點P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左支上，
F₁，F₂是雙曲線的左右焦點，則由|PF₁|=

1

4

|PF₂|及|PF₂|-|PF₁|=2a求得|PF1|=

2

3

a，|PF2|=

8

3

a，
又|PF₁|+|PF₂|=

2

3

a+

8

3

a≥2c，∴

c

a

≤

5

3

，又e＞1，∴（1）的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍（1，

5

3

]．
∴命題（3）正確；
（4）在（2）的條件下，由滿足

.

MF1

•

.

MF2

=0的點M總在曲線的內部，說明滿足MF₁⊥MF₂的點M在曲線內部，若點M在曲線上，則|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M為橢圓短軸的一個端點，則|MF₁|=|MF₂|=a，所以2a²＞4c²，
則

c

a

＜

2

2

．∴命題（4）錯誤．
所以，正確的命題是②③．
故答案為②③．

點評：本題考查了命題的真假判斷及簡單應用，考查了橢圓和雙曲線的簡單幾何性質，涉及求圓錐曲線的離心率范圍問題，關鍵是根據題目給出的條件得到關于a和c的不等式，此題是中檔題．