Question

【題目】已知△ABC的三邊長分別為a、b、c，且滿足.

（1）是否存在邊長均為整數的△ABC?若存在，求出三邊長；若不存在，說明理由.

（2）若，，，求出△ABC周長的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 存在三邊長均為整數的△ABC，其三邊長分別為4、5、6或3、7、8. (2)

【解析】

（1）不妨設，顯然.

若，此時.

由，可得.矛盾.

故c只能去2、3、4.

當c=2時，，有.

又，故無解.

當時，，即.

又，故或或

解得或或

能構成三角形的只有，，.

當時，同理解得，或，.

而能構成三角形的只有，，.

因此，存在三邊長均為整數的△ABC，其三邊長分別為4、5、6或3、7、8.

（2）由，

得

故.

又，

則.

故△ABC的周長最小值為，當僅當且時，取得此最小值.