Question

【題目】袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中．重復上述過程次后，袋中白球的個數記為．

（1）求隨機變量的概率分布及數學期望；

（2）求隨機變量的數學期望關于的表達式．

Answer 1

【答案】（1）概率分布詳見解析，；（2）．

【解析】

（1）的可能取值為3，4，5，計算概率得到分布列，計算數學期望得到答案.

（2）設，則，計算概率得到數學期望，整理化簡得到，根據數列知識得到答案.

（1）由題意可知3，4，5．

當時，即二次摸球均摸到白球，其概率是；

當時，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，

其概率是；

當時，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，

所以隨機變量的概率分布如下表：

數學期望.

（2）設，0，1，2，3，4，5．

則，．

，，，

，，

，

∴

，

由此可知，，

又，故是首項為，公比為的等比數列，

∴，即.