Question

【題目】已知函數，其中．

(1)試討論函數的單調性；

(2)若，且函數有兩個零點，求實數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

⑴求出，分別討論的范圍，求出單調性

⑵等價于有兩個零點，結合⑴中的結果求導后判定函數的單調性，研究零點問題

(1) ，則

當時，，所以函數在上單調遞增；

當時，若 ，則，若 ，則

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；

綜上可知，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；

(2) 函數有兩個零點等價于有兩個零點.

由(1)可知，當時，函數在上單調遞增，最多一個零點，不符合題意。所以，又當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；所從.

要使有兩個零點，則有.

設，則，

所以函數在上單調遞減.又

所以存在，當時，.

即存在，當時， 即

又因為，所以實數的最小值等于2．

此時，當時，，當時，，有兩個零點.故實數的最小值等于2.