Question

【題目】已知正項數列的前n項和滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）若（n∈N*），求數列的前n項和;

（3）是否存在實數使得對恒成立，若存在，求實數的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）根據與的關系，即可求出的通項公式；

（2）由 ，可采用裂項相消法求數列的前n項和；

（3）假設存在實數λ，使得對一切正整數恒成立，

即對一切正整數恒成立，只需滿足即可，利用作差法得出其單調性，即可求解．

（1）當n=1時，a1=2或-1（舍去）．

當n≥2時，，

整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，

∴{an}是以a1=2為首項，d=1為公差的等差數列．∴．

（2）由（1）得an=n+1，∴．

∴．

（3）假設存在實數λ，使得對一切正整數恒成立，

即對一切正整數恒成立，只需滿足即可，

令，則

當

故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…

當n=3時有最小值，所以．