Question

【題目】如圖，的直角邊OA在x軸上，頂點B的坐標為，直線CD交AB于點，交x軸于點.

(1)求直線CD的方程；

(2)動點P在x軸上從點出發，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，過點P作直線l垂直于x軸，設運動時間為t.

①點P在運動過程中，是否存在某個位置，使得?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②請探索當t為何值時，在直線l上存在點M，在直線CD上存在點Q，使得以OB為一邊，O，B，M，Q為頂點的四邊形為菱形，并求出此時t的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①滿足條件的點P坐標為或，②滿足條件的t的值為或.

【解析】

（1）利用兩點式求出直線方程，再化為一般方程；
（2）①根據題意作DP∥OB，利用相似三角形求出點P的坐標，根據對稱性求得P′的坐標；
②分情況討論，OP＝OB＝10時，作PQ∥OB交CD于Q，求得點M與點P重合，t＝0；
OQ＝OB時，求出點Q的橫坐標，計算M的橫坐標，求得t的值；Q點與C點重合時，求得M點的橫坐標，得出t的值.

解：（1）直線CD過點C（12，0），D（6，3），

直線方程為＝，

化為一般形式是x+2y﹣12＝0；

（2）①如圖1中，

作DP∥OB，則∠PDA＝∠B，

由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；

∴OP＝6﹣＝，∴點P（，0）；

根據對稱性知，當AP＝AP′時，P′（，0），

∴滿足條件的點P坐標為（，0）或（，0）；

②如圖2中，當OP＝OB＝10時，作PQ∥OB交CD于Q，

則直線OB的解析式為y＝x，

直線PQ的解析式為y＝x+，

由，解得，∴Q（﹣4，8）；

∴PQ＝＝10，

∴PQ＝OB，∴四邊形OPQB是平行四邊形，

又OP＝OB，∴平行四邊形OPQB是菱形；

此時點M與點P重合，且t＝0；

如圖3，當OQ＝OB時，設Q（m，﹣m+6），

則有m2+＝102，

解得m＝；

∴點Q的橫坐標為或；

設M的橫坐標為a，

則＝或＝，

解得a＝或a＝；

又點P是從點（﹣10，0）開始運動，

則滿足條件的t的值為或；

如圖4，當Q點與C點重合時，M點的橫坐標為6，此時t＝16；

綜上，滿足條件的t值為0，或16，或或.