Question

【題目】如圖，已知橢圓的左焦點為，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且．

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1) 由題意可知，令，代入橢圓可得，又，解出a,b,可得橢圓方程;(2) 由（1）可知， ，代入橢圓可得，所以， 因為直線的傾斜角互補，所以直線的斜率與的斜率互為相反數；設直線方程為： ，與橢圓方程聯立,根據韋達定理可求出點M的坐標,同理求出N點坐標,根據兩點的斜率公式,代入化簡可得定值.

試題解析:

（1）由題意可知，

令，代入橢圓可得，所以，又，

兩式聯立解得： ，

.

（2）由（1）可知， ，代入橢圓可得，所以，

因為直線的傾斜角互補，所以直線的斜率與的斜率互為相反數；

可設直線方程為： ，代入得：

，

設, ,因為點在橢圓上，

所以， ， ，

又直線的斜率與的斜率互為相反數，在上式中以代替，可得

， ,

所以直線的斜率，

即直線的斜率為定值，其值為.

點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．