Question

求證：

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

(2n)(2n+1)

＜

1

3

．

Answer 1

考點：反證法與放縮法

專題：選作題,反證法

分析：利用（2n）（2n+1）＞（2n-1）（2n+1），可得

1

(2n)(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），即可證明結(jié)論．

解答： 證明：∵（2n）（2n+1）＞（2n-1）（2n+1），
∴

1

(2n)(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

(2n)(2n+1)

＜

1

6

+

1

2

（+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

2n+1

）＜

1

3

．
即

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

(2n)(2n+1)

＜

1

3

．

點評：本題考查放縮法，考查學生分析解決問題的能力，利用

1

(2n)(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）是關鍵．