Question

【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l1、l2，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開發旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數圖象的一段，點M到l1、l2的距離分別為8千米和1千米，點N到l2的距離為10千米，以l1、l2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，設點P的橫坐標為p．

（1）求曲線段MPN的函數關系式，并指出其定義域；

（2）若某人從點O沿公路至點P觀景，要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）由題意得M（1，8），則a=8，即得曲線段的函數關系式，可得其定義域；

（2）由函數關系式設點P坐標，設直線AB方程，將直線方程與曲線方程聯立求出A，B坐標，即可求出最短長度p的取值范圍

（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數關系式為，

又得，所以定義域為[1，10]．

（2），設AB:

由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，

△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，

∴kp2+8=0，∴，得直線AB方程為，

得,B(2p,0)，故點P為AB線段的中點，

由即p2﹣8＞0,

得時，OA＜OB，

所以，當時，經點A至P路程最近．