Question

在△ABC中，C是直角，則sin²A+2sinB（ ）
A．有最大值無最小值
B．有最小值無最大值
C．有最大值也有最小值
D．無最大值也無最小值

Answer 1

【答案】分析：根據題意可得0＜B＜，并且sinB∈（0，1），對所求進行化簡可得-sin²B+2sinB+1，進而利用換元的方法得到二次函數y=-t²+2t+1，t∈（0，1），再利用二次函數的性質解決問題即可．
解答：解：因為在△ABC中，C是直角，
所以A+B=，所以A=．
由題意可得0＜B＜，所以sinB∈（0，1）
所以sin²A+2sinB=cos²B+2sinB=-sin²B+2sinB+1，
設t=sinB，則t∈（0，1），
所以原函數為：y=-t²+2t+1，t∈（0，1），
因為函數的對稱軸t=1，
所以函數沒有最值，即sin²A+2sinB沒有最值．
故選D．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握三角函數的有關概念，以及掌握利用換元的方法借助于其它函數研究原函數的最值，在換元時一定是等價換元．