Question

在區間［0，1］上給定曲線y=x²，試在此區間內確定點t的值，使圖中陰影部分的面積S₁與S₂之和最小.

Answer 1

t=時，S最小，∴最小值為S()=

  S₁面積等于邊長為t與t²的矩形面積去掉曲線y=x²與x軸、直線x=t所圍成的面積，即

S₁=t·t²-x²dx=t³.
S₂的面積等于曲線y=x²與x軸、x=t,x=1圍成的面積減去矩形面積，
矩形邊長分別為t²，（1-t），即
S₂=x²dx-t²(1-t)=t³-t²+.
所以陰影部分的面積S為
S=S₁+S₂=t³-t²+（0≤t≤1）.
∵S′(t)=4t²-2t=4t(t-)=0時，得t=0，t=.
當t=時，S最小，∴最小值為S()=.