Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，則下列四個命題中真命題的序號為

②③

．①S₂₀₁₁=2011； ②S₂₀₁₂=2012； ③a₂₀₁₁＜a₂；   ④S₂₀₁₁＜S₂．

Answer 1

分析：根據等式，構造函數，求導函數，可知函數是單調遞增的，再利用函數的單調性即等差數列的求和公式，即可得到結論．

解答：解：根據（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，
構造函數f（x）=x³+2012x，由于函數f（x）=x³+2012x是奇函數，由條件有f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，
求導函數可得：f′（x）=3x²+1＞0，所以函數f（x）=x³+x是單調遞增的，
而f（1）=2＞1=f（a₂-1），即a₂-1＜1，解得a₂＜2
∵f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，
∴a₂-1＞a₂₀₁₁-1，a₂-1=-（a₂₀₁₁-1）
，∴a₂＞0＞a₂₀₁₁，a₂+a₂₀₁₁=2，
∴S₂₀₁₂=

a1+a2012

2

×2012=2012；
又S₂₀₁₁=S₂₀₁₂-a₂₀₁₂=2012-（2-a₂+d）=2010+a₁＞a₁+a₂=S₂，
綜上知，S₂₀₁₂=2012； a₂₀₁₁＜a₂； 
故真命題為：②③
故答案為：②③

點評：本題考查函數與方程的思想，綜合考查函數的奇偶性、單調性、等差數列的通項公式、等差數列性質、等差數列求和公式以及函數與方程的思想，轉化與化歸思想，屬于難題