Question

設函數y=f（x）是定義域在R，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；                
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）試判斷函數的單調性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．

Answer 1

分析：（1）賦值令x=y=0，則可求f（0）的值；
（2）令y=-x，結合f（0）的值，可得結論；
（3）利用單調性的定義，結合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函數的單調性，進而將抽象不等式轉化為具體不等式，即可求解．

解答：解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函數f（x）是R上的奇函數
（3）f（x）是R上的增函數，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）是R上的增函數
∵f(

1

3

)=1，∴f(

2

3

)=f(

1

3

+

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)＜f(

2

3

)，
又由y=f（x）是定義在R上的增函數，得2x+2＜

2

3

解之得x＜-

2

3

，故x∈(-∞，-

2

3

)．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性，考查解不等式，考查賦值法的運用，確定函數的單調性是關鍵．