Question

已知函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14．
（1）求a的值；
（2）求函數y=a x2-4的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由題意令t=a^x，則原函數變成關于t的二次函數，求出t的范圍，根據在區間上的單調性求出函數有最大值時對應的t值，進而求出a的值．
（2）由（1）知，y=a x2-4= 3x2-4，依據復合函數的單調性來判斷，即可得到 y=3x2-4的單調區間．

解答：解：（1）令t=a^x，則y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
當a＞1時，∵x∈[-1，1]，則t∈[

1

a

，a]，
∴函數在[

1

a

，a]上是增函數，
∴當t=a時，函數取到最大值14=a²+2a-1，
解得a=3或-5（舍），則a的值為3．
當0＜a＜1時，則t=a^x是減函數，
所以0＜a＜t＜a^-1
所以y的圖象都在對稱軸t=-1的右邊，開口向上 并且遞增
所以t=a^-1時有最大值
所以y=（a^-1+1）²-2=14，解得a=

1

3

，符合0＜a＜1
故a的值為3或

1

3

；
（2）由（1）知，a的值為3或

1

3

；
當a的值為3時，y=a x2-4= 3x2-4，
則函數 y=3x2-4分解成兩部分：f（U）=3^U外層函數，U=x²-4是內層函數．
根據復合函數的單調性，可得函數y=3^U單調增函數，
則函數 y=3x2-4單調遞增區間就是函數y=x²-4單調遞增區間；
函數 y=3x2-4單調遞減區間就是函數y=x²-4單調遞減區間；
∴函數 y=3x2-4單調遞增區間是（0，+∞），單調遞減區間是（-∞，0）．
當a的值為

1

3

時，y=a x2-4=34-x2，
則函數y=34-x2分解成兩部分：f（U）=3^U外層函數，U=4-x²是內層函數．
根據復合函數的單調性，可得函數y=3^U單調增函數，
則函數y=34-x2單調遞增區間就是函數y=4-x²單調遞增區間；
函數y=34-x2單調遞減區間就是函數y=4-x²單調遞減區間；
∴函數y=34-x2單調遞增區間是（-∞，0），單調遞減區間是（0，+∞）．

點評：本小題主要考查復合函數單調性的應用、二次函數單調性的應用、不等式的解法及函數的最值問題等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．