Question

（2012•安徽模擬）已知函數y=a^2x-4+1（a＞0且a≠1）的圖象過定點A，且點A在直線

x

m

+

y

n

=1(m，n＞0)上，則m+n的最小值為

8

．

Answer 1

分析：由題意可得定點A（2，2），于是有

2

m

+

2

n

=1（m＞0，n＞0），由基本不等式即可求得m+n的最小值．

解答：解：當x=2時，y=a^2×2-4+1=2，
∴函數y=a^2x-4+1（a＞0且a≠1）的圖象過定點A（2，2），又點A在直線

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，
∴

2

m

+

2

n

=1（m＞0，n＞0），
∴m+n=（m+n）•（

2

m

+

2

n

）=2+2+

2n

m

+

2m

n

≥4+2

2n m • 2m n

=4（當且僅當m=n=4時取“=”）．
故答案為：8．

點評：本題考查指數函數的特殊點與基本不等式，利用指數函數的性質得到定點A（2，2）是關鍵，考查熟練應用基本不等式的能力，屬于基礎題．