Question

已知函數f（x）=x³+x²-3a²x-2a-25
（1）若函數f（x）在（-1，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（2）若a＞0，當0≤x≤3時f（x）≤x²+a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由題意得f′（x）=3x²+2x-3a²≤0對x∈[-1，1]恒成立，解不等式組，解出即可；
（2）由題意得x³-3a²x-3a-25≤0對x∈[0，3]恒成立，對a進行討論，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得f′（x）=3x²+2x-3a²≤0對x∈[-1，1]恒成立，
∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，解得：a≤-

15

3

或a≥

15

3

，
（2）由題意得x³-3a²x-3a-25≤0對x∈[0，3]恒成立，
令h（x）=x³-3a²x-3a-25，
則h′（x）=3（x+a）（x-a），
∴h（x）在[0，a]遞減，在[a，+∞）遞增，
當a≥3時，h（0）=-3a-25≤0，滿足題意，
當0＜a＜3時，

h(0)=-3a-25≤0 h(3)=2-9a2-3a≤0

，
解得：

1

3

≤a≤3，
綜上：a≥

1

3

．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，屬于中檔題．